Муниципальное автономное общеобразовательное учреждениегимназия № 94
Принято:
Педагогический совет
Протокол от 28.08.2024
№ 10
Утверждаю:
Директор МАОУ – гимназия № 94
_____________С.А. Ярославцев
Приказ от 30.08.2024 № 62/3
Учебный план
Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая программа
естественнонаучной направленности
«Решение задач повышенной сложности по математике»
Возраст обучающихся 14 –18 лет
Срок реализации 4 года
г. Екатеринбург, 2024
Сводный учебный план
№
Название раздела, темы
1.
Вычисления в задачах повышенной сложности,
содержащие абсолютные величины.
Уравнения
и
неравенства
содержащие
абсолютные величины.
Системы уравнений и неравенств, содержащие
абсолютные величины.
Решение
параметрических
уравнений
с
модулями графическим методом.
Знакомство с параметрами.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Решение сложных случаев параметрических
уравнений
первой
степени
с
одним
неизвестным
Параметрическое линейное неравенство.
Квадратные уравнения и неравенства с
параметром.
Параметрические квадратные и линейные
уравнения и неравенства с модулем.
Параметрические линейные системы с двумя
переменными.
Решение задач повышенной сложности по теме
«Метод неопределённых коэффициентов. ФСУ
высоких степеней.»
Решение
параметрических
уравнений
и
неравенств графическим методом.
Решение задач повышенной сложности по теме
«Преобразования двойных радикалов.
Решение задач повышенной сложности по теме
«Рациональные, иррациональные неравенства,
неравенства с модулем.»
Решение задач повышенной сложности по теме
«Уравнения и неравенства с параметром.»
Решение задач повышенной сложности по теме
«Кусочные функции. Параметр в исследовании
функции.»
Решение неравенств повышенной сложности с
одной переменной.
Решение уравнений высших степеней методом
замены переменной и методом группировки.
Решение задач повышенной сложности с
помощью систем уравнений второй степени.
Решение задач повышенной сложности по теме
«Выражения и преобразования»
Решение задач повышенной сложности по теме
«Уравнения».
1 год
обуче
ния
2 год
обуче
ния
3 год
обучен
ия
4 год
обуче
ния
всег
о
4
4
9
9
7
7
6
6
5
5
5
5
5
5
8
8
8
8
3
3
8
8
8
8
8
8
7
7
6
6
7
7
7
7
6
6
3
3
3
3
4
4
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Решение задач повышенной сложности по теме
«Системы уравнений».
Решение задач повышенной сложности по теме
«Неравенства».
Решение задач повышенной сложности по теме
«Функции и их свойства».
Геометрические фигуры и их свойства.
Планиметрия
Решение задач повышенной сложности по теме
«Текстовые задачи»
Решение задач повышенной сложности по теме
«Функции и их свойства»
Решение задач повышенной сложности по теме
«Первообразная и интеграл»
Решение задач повышенной сложности по теме
«Элементы комбинаторики, статистики и
теории вероятностей»
Решение задач повышенной сложности по теме
«Геометрические фигуры и их свойства.
Стереометрия»
Решение задач повышенной сложности по теме
«Задания с параметром»
Всего часов:
60
60
2
2
4
4
3
3
2
2
60
3
3
4
4
2
2
2
2
3
3
2
2
60
240
Учебно-тематический план
1 год обучения
№
Название раздела, темы
количество часов
Вычисления
в
задачах
повышенной
сложности,
содержащие
абсолютные
величины.
2. Уравнения
и
неравенства
содержащие
абсолютные
величины.
3. Системы
уравнений
и
неравенств,
содержащие
абсолютные величины.
4. Решение
параметрических
уравнений
с
модулями
графическим методом.
5. Знакомство с параметрами.
6. Решение
сложных
случаев
параметрических
уравнений
первой
степени
с
одним
неизвестным
7. Параметрическое
линейное
неравенство.
8. Квадратные
уравнения
и
неравенства с параметром.
9. Параметрические квадратные и
линейные
уравнения
и
неравенства с модулем.
10. Параметрические
линейные
системы с двумя переменными.
теория
практика всего
1.
1
3
4
3
6
9
формы
аттестации/контроля
тест
с/р
зачёт
2
5
7
2
4
6
2
3
5
2
3
5
2
3
5
тест
3
5
8
с/р
3
5
8
1
2
3
21
39
60
Домашняя с/р
тест
с/р
Домашняя с/р
зачёт
Содержание учебно- тематического плана.
Раздел 1. Вычисления в задачах повышенной сложности, содержащие абсолютные
величины.
Теория: Абсолютная величина. Модули противоположных чисел. Операции над
абсолютными величинами.
Практика: Вычисления в задачах повышенной сложности, содержащие абсолютные
величины.
Раздел 2. Уравнения и неравенства содержащие абсолютные величины.
Теория: Уравнения и неравенства содержащие абсолютные величины. Основные методы
решения уравнений с модулем.
Случаи с 2-3 модулями. Метод интервалов
Практика: Применение свойств модуля при решении задач повышенной сложности.
Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля.
Раздел 3. Системы уравнений и неравенств, содержащие абсолютные величины.
Теория: Системы уравнений и неравенств, содержащие абсолютные величины. Основные
методы решения систем уравнений с модулем. Случаи с 2-3 модулями.
Практика: Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к
равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравнения, метод интервалов,
графический метод, использование свойств абсолютной величины.
Раздел 4. Решение параметрических уравнений с модулями графическим методом.
Теория. Использование графиков функций при решении уравнений с параметром.
Практика: Решение параметрических уравнений с модулями графическим методом.
Построение графиков функций при решении уравнений с параметром.
Раздел 5. Знакомство с параметрами.
Теория: Основные понятия уравнений с параметрами. Определение параметра. Виды
уравнений, содержащие параметр. Основные приемы решения задач с параметрами.
Практика: Решение задач с параметрами.
Раздел 6. Решение сложных случаев параметрических уравнений первой степени с
одним неизвестным.
Теория: Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений,
содержащих параметр.
Практика: Решение уравнений, приводимых к линейным. Решение линейно-кусочных
уравнений. Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Раздел 7. Параметрическое линейное неравенство.
Теория: Определение линейного неравенства. Алгоритм решения неравенств.
Графический метод.
Практика: Решение неравенств с параметрами. Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.
Раздел 8. Квадратные уравнения и неравенства с параметром.
Теория: Алгоритм решения квадратных уравнений и неравенств с параметром.
Практика: Решение квадратных уравнений рациональным способом. Исследование
квадратных уравнений, содержащих параметры.
Раздел 9. Параметрические квадратные и линейные уравнения и неравенства с
модулем.
Теория: Алгоритм решения параметрических линейных и квадратных уравнений с
модулем.
Практика: Исследование параметрических линейных и квадратных уравнений,
содержащих модуль.
Раздел 10. Параметрические линейные системы с двумя переменными.
Теория: Алгоритм решения систем параметрических уравнений с двумя переменными.
Практика: Исследование систем параметрических уравнений с двумя переменными.
Результаты 1 -го года обучения. Учащиеся научатся:
1) Решать уравнения, неравенства и системы уравнений, содержащие абсолютную
величину;
2) Решать уравнения, неравенства и системы уравнений, содержащие 2-3 модуля;
3) Решать линейные и квадратные уравнения, неравенства и системы уравнений с
параметром;
4) Решать параметрические квадратные и линейные уравнения и неравенства с модулем.
Учебно-тематический план
2 год обучения
№
Название раздела, темы
Решение
задач
повышенной
сложности
по
теме
«Метод
неопределённых
коэффициентов.
ФСУ высоких степеней.»
2. Решение параметрических уравнений
и неравенств графическим методом.
3. Решение
задач
повышенной
сложности по теме «Преобразования
двойных радикалов.»
4. Решение
задач
повышенной
сложности по теме «Рациональные,
иррациональные
неравенства,
неравенства с модулем.»
5. Решение
задач
повышенной
сложности по теме «Уравнения и
неравенства с параметром.»
6. Решение
задач
повышенной
сложности по теме «Кусочные
функции.»
7. Решение неравенств повышенной
сложности с одной переменной.
8. Решение уравнений высших степеней
методом замены переменной и
методом группировки.
9. Решение
задач
повышенной
сложности с помощью систем
уравнений второй степени.
10. Итого
1.
количество часов
теория
2
практика
6
всего
8
формы
аттестации/к
онтроля
тест
2
6
8
с/р
2
6
8
тест
2
5
7
зачёт
2
4
6
Домашняя
с/р
2
5
7
с/р
2
5
7
тест
2
4
6
зачёт
1
2
3
Домашняя
с/р
17
43
60 ч
Содержание учебно- тематического плана.
Раздел 1. Решение задач повышенной сложности по теме «Метод неопределённых
коэффициентов. ФСУ высоких степеней.»
Теория: Основные методы разложения на множители. Суть метода неопределенных
коэффициентов. Формулы сокращенного умножения высоких степеней. Бином Ньютона.
Практика: Комбинирование различных методов.
Раздел 2. Решение параметрических уравнений и неравенств графическим методом.
Теория: Использование графиков функций при решении параметрических уравнений и
неравенств.
Практика: Построение графиков функций при решении параметрических уравнений и
неравенств.
Раздел 3. Решение задач повышенной сложности по теме «Преобразования двойных
радикалов.»
Теория: Рассмотрение сложных случаев. Матричная запись и матричная форма решения
системы линейных уравнений. Определение определителя. Определитель второго порядка.
Определитель третьего порядка. Метод Крамера. Метод Гаусса.
Практика: Решение задач повышенной сложности по теме «Преобразования двойных
радикалов»
Раздел 4. Решение задач повышенной сложности по теме «Рациональные,
иррациональные неравенства, неравенства с модулем.»
Теория: Неравенства, содержащие модули. Геометрическая интерпретация неравенств с
модулем. Основные типы неравенств с модулем. Вложенные модули. Рациональные и
иррациональные неравенства с модулем. Равносильные преобразования при решении
иррациональных неравенств с модулем. Обобщенный метод интервалов.
Практика: Решение основных типов неравенств с модулем.
Раздел 5. Решение задач повышенной сложности по теме «Уравнения и неравенства
с параметром.»
Теория: Уравнения и неравенства, содержащие параметр. Графический метод решения.
Практика: Аналитическое и графическое решения параметрических уравнений и
неравенств. Нестандартные приемы решения параметрических уравнений и неравенств.
Раздел 6. Решение задач повышенной сложности по теме «Кусочные функции.»
Теория: Задачи с параметром на отыскание области определения и множества значений
функции. Монотонность и обратимость функции в задачах с параметрами. Периодичность
функции в задачах с параметрами.
Практика: Построение графиков кусочных функций.
Раздел 7. Решение неравенств повышенной сложности с одной переменной.
Теория: Равносильность неравенств. Неравенство о среднем арифметическом и среднем
геометрическом двух чисел. Использование свойств и графиков функций при решении
неравенств. Метод интервалов.
Практика:
Решение
рациональных
неравенств.
Доказательства
неравенств.
Интерпретация результата, учет реальных ограничений. Решение неравенств, содержащих знак
модуля.
Раздел 8. Решение уравнений высших степеней методом замены переменной и
методом группировки.
Теория: Равносильность уравнений. Уравнения высших степеней. Приемы их решения.
Основные методы решения алгебраических уравнений: замена переменной и разложение на
множители. Уравнения, однородные относительно входящих в них выражений.
Практика: Решение рациональных уравнений повышенной сложности. Решение
текстовых задач с помощью уравнений.
Раздел 9. Решение задач повышенной сложности с помощью систем уравнений
второй степени.
Теория: Системы алгебраических уравнений. Основные приемы решения систем
уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных.
Практика: Решение систем уравнений с двумя неизвестными второй степени.
Результаты 2 -го года обучения. Учащиеся научатся:
1) Знать основные методы разложения на множители, ФСУ высоких степеней;
2) Уметь решать параметрические уравнения и неравенства графическим способом;
3) Уметь решать рациональные и иррациональные неравенства с модулем;
4) Уметь решать уравнения и неравенства с параметром;
5) Уметь решать уравнения высших степеней.
Учебно-тематический план
3 год обучения
№
Название раздела, темы
1
Решение
задач
повышенной
сложности по теме «Выражения и
преобразования»
Решение
задач
повышенной
сложности по теме «Уравнения»
Решение
задач
повышенной
сложности по теме «Системы
уравнений»
Решение
задач
повышенной
сложности по теме «Неравенства»
Решение
задач
повышенной
сложности по теме «Функции и их
свойства»
Геометрические фигуры и их
свойства. Планиметрия
итого
2
3
4
5
6
количество часов
всего теория
практика
3
5
8
4
12
16
2
5
7
4
10
14
формы
аттестации/контроля
с/р
Домашняя с/р
зачёт
Домашняя с/р
тест
3
6
9
2
4
8
15
45
60
зачёт
Содержание учебно- тематического плана.
Раздел 1. Решение задач повышенной сложности по теме «Выражения и
преобразования»
Теория: Преобразования числовых выражений. Алгебраические буквенные выражения.
Формулы сокращенного умножения. Рациональные корни многочленов с целыми
коэффициентами. Многочлены от нескольких переменных. Корень степени n, его свойства.
Практика: Преобразования алгебраических буквенных выражений. Преобразование
выражений, содержащих степени и радикалы.
Раздел 2. Решение задач повышенной сложности по теме «Уравнения».
Теория: Эквивалентные преобразования. Следствия уравнений. Область допустимых
значений. Уравнения высших степеней. Некоторые типы уравнений 3-й и 4-й степени, способы
их решения. Иррациональные уравнения. Равносильные преобразования при решении
иррациональных уравнений. Комбинированные уравнения.
Практика: Использование свойств функций при решении иррациональных уравнений.
Некоторые приемы решения комбинированных уравнений.
Раздел 3. Решение задач повышенной сложности по теме «Системы уравнений».
Теория: Системы уравнений с двумя и тремя переменными. Метод подстановки,
алгебраическое сложение и умножение при решении систем уравнений. Системы уравнений с
параметром.
Практика: Замена переменной при решении систем уравнений. Решение систем
уравнений графическим методом.
Раздел 4. Решение задач повышенной сложности по теме «Неравенства».
Теория: Квадратные и дробно-рациональные неравенства. Графический способ решения
неравенств. Иррациональные неравенства. Равносильные преобразования при решении
иррациональных неравенств. Комбинированные неравенства. Обобщенный метод интервалов.
Неравенства, содержащие параметры. Системы неравенств с двумя переменными.
Практика: Аналитическое и графическое решения неравенств с параметрами. Задание
фигур на координатной плоскости неравенствами. Алгебраическое сложение при решении
систем неравенств. Замена переменной при решении системы неравенств.
Раздел 5. Решение задач повышенной сложности по теме «Функции и их свойства».
Теория: Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции.
Четность, нечетность, периодичность функции. Промежутки возрастания, убывания,
знакопостоянства и нули функции.
Графики функций, связанных с модулем. Графики сложных функций.
Практика: Исследования функций и построение графиков. Основные способы
преобразования графиков.
Раздел 6. Геометрические фигуры и их свойства. Планиметрия.
Теория: Треугольники и окружности. Вписанные и описанные треугольники. Связь между
радиусами вписанной и описанной окружностей с элементами треугольника.
Векторы на плоскости. Координаты точки и вектора в декартовой системе координат.
Операции с векторами. Угол между векторами. Коллинеарность векторов. Скалярное
произведение векторов. Условие перпендикулярности двух векторов.
Задача Эйлера. Теоремы Чевы и Менелая.
Окружность. Эллипс. Гипербола и парабола.
Практика: Всевозможные геометрические построения.
Результаты 3 -го года обучения. Учащиеся научатся:
1) Уметь преобразовывать числовые и буквенные выражения»
2) Знать способы решения уравнений 3-й и 4-й степеней, уметь решать данные
уравнения;
3) Уметь решать системы уравнений с двумя и тремя неизвестными;
4) Уметь решать неравенства с параметром;
5) Уметь строить графики сложных функций;
6) Уметь исследовать сложные функции;
7) Уметь выполнять операции над векторами.
Учебно-тематический план
4 год обучения
№
Название раздела, темы
количество часов
1
всего
Решение задач повышенной
3
сложности по теме «Текстовые
теория
практика
9
12
формы
аттестации/контроля
с/р
2
3
4
5
6
задачи»
Решение задач повышенной
сложности по теме «Функции и
их свойства»
Решение задач повышенной
сложности
по
теме
«Первообразная и интеграл»
Решение задач повышенной
сложности по теме «Элементы
комбинаторики, статистики и
теории вероятностей»
Решение задач повышенной
сложности
по
теме
«Геометрические фигуры и их
свойства. Стереометрия»
Решение задач повышенной
сложности по теме «Задания с
параметром»
итого
с/р
4
10
14
2
6
/8
зачёт
тест
2
7
9
зачёт
3
6
9
2
6
8
16
44
60
Домашняя с/р
Содержание учебно- тематического плана.
Раздел 1. Решение задач повышенной сложности по теме «Текстовые задачи».
Теория: Задачи на проценты. Выражение значений разности величины в процентах.
Понятие сложного процента. Использование пропорций при решении задач на проценты,
концентрации веществ в растворах и сплавах. Задачи экономического содержания.
Задачи на движение. Задачи на встречное, попутно движение. Задачи на движение
протяженных объектов. Задачи на круговое движение.
Задачи на работу. Задачи на совместную и раздельную работу.
Сокращение числа неизвестных в системах уравнений. Использование ограничений на
значения неизвестных величин при решении систем уравнений и неравенств в задачах на
движение и работу
Практика: Решение задач на проценты, движение и работу.
Раздел 2. Решение задач повышенной сложности по теме «Функции и их свойства».
Теория: Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции.
Четность, нечетность, периодичность функции. Промежутки возрастания, убывания,
знакопостоянства и нули функции.
Графики функций, связанных с модулем. Графики сложных функций.
Практика: Исследования функций и построение графиков. Основные способы
преобразования графиков.
Раздел 3. Решение задач повышенной сложности по теме «Первообразная и
интеграл».
Теория: Первообразная. Неопределенный интеграл. Метод подстановки. Проблемы
интегрирования элементарных функций. Определенный интеграл. Теорема Ньютона-Лейбница.
Свойства определенных интегралов.
Площадь круга. Длина окружности. Объем тела вращения.
Практика: Решение неопределенных и определенных интегралов. Интегрирование
элементарных функций.
Раздел 4. Решение задач повышенной сложности по теме «Элементы комбинаторики,
статистики и теории вероятностей».
Теория: Статистика. Вероятность. Частота события, вероятность. Сложение и умножение
вероятностей. Свойства вероятностей событий. Условная вероятность. Независимые события.
Формула Бернулли. Закон больших чисел.
Практика: Математическое ожидание. Сложный опыт.
Раздел 5. Решение задач повышенной сложности по теме «Геометрические фигуры и
их свойства. Стереометрия».
Теория: Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Трехгранный угол.
Многогранный угол. Геометрическое тело. Теорема Эйлера.
Пространственная теорема Пифагора. Симметрия в пространстве.
Ортогональная проекция многоугольника на заданную плоскость. Связь площади
многоугольника с его ортогональной проекцией.
Практика: Параллельное проектирование. Параллельные проекции плоских фигур.
Изображение пространственных фигур в параллельной проекции. Построение сечений
многогранников. Метод «следов». Метод вспомогательных плоскостей. Ортогональное
проектирование.
Раздел 6. Решение задач повышенной сложности по теме «Задания с параметром».
Теория: Понятие параметра, рассмотрение приемов решения заданий с параметром
(аналитический, графический), а также нестандартные приемы решения, решение задач
практической направленности (с учетом межпредметной направленности с химией, физикой,
техникой).
Геометрический смысл производной в задачах с параметром. Касательная к кривой.
Отыскание стационарных (критических) точек при исследовании функции, содержащей
параметры.
Возрастание и убывание функции, содержащей параметры.
Практика: Исследование решений уравнений и неравенств с параметром с
использованием графиков соответствующих функций. Решение текстовых задач на нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции, содержащей параметры.
Результаты 4 -го года обучения. Учащиеся научатся:
1) Решать задачи повышенной сложности по теме «Текстовые задачи»;
2) Решать задачи повышенной сложности по теме «Функции и их свойства»;
3) Решать задачи повышенной сложности по теме «Элементы комбинаторики, статистики и
теории вероятностей»;
4) Решать задачи повышенной сложности по теме «Первообразная и интеграл»;
5) Решать задачи повышенной сложности по теме «Геометрические фигуры и их свойства.
Стереометрия»;
6) Решать задачи повышенной сложности по теме «Задания с параметром».
